Sử dụng công thức tính khoảng cách

Trong hệ tọa độ Descartes, cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c và γ là góc đối diện cạnh c với tọa độ ba đỉnh lần lượt là

A = ( b cos ⁡ γ ,   b sin ⁡ γ ) ,   B = ( a ,   0 ) ,   C = ( 0 ,   0 ) . {\displaystyle A=(b\cos \gamma ,\ b\sin \gamma ),\ B=(a,\ 0),\ C=(0,\ 0)\,.}

Sử dụng công thức tính khoảng cách, ta có

c = ( a − b cos ⁡ γ ) 2 + ( 0 − b sin ⁡ γ ) 2 . {\displaystyle c={\sqrt {(a-b\cos \gamma )^{2}+(0-b\sin \gamma )^{2}}}\,.}

do đó

c 2 = ( a − b cos ⁡ γ ) 2 + ( − b sin ⁡ γ ) 2 c 2 = a 2 − 2 a b cos ⁡ γ + b 2 cos 2 ⁡ γ + b 2 sin 2 ⁡ γ c 2 = a 2 + b 2 ( sin 2 ⁡ γ + cos 2 ⁡ γ ) − 2 a b cos ⁡ γ c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ γ . {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&{}=(a-b\cos \gamma )^{2}+(-b\sin \gamma )^{2}\\c^{2}&{}=a^{2}-2ab\cos \gamma +b^{2}\cos ^{2}\gamma +b^{2}\sin ^{2}\gamma \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\gamma +\cos ^{2}\gamma )-2ab\cos \gamma \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,.\end{aligned}}}

Công thức này sử dụng được cả trường hợp tam giác nhọn và tam giác tù.

Sử dụng công thức lượng giác

Hình 4 - Tam giác nhọn và đường cao

Hạ đường cao tương ứng với cạnh c như hình 4 ta có

c = a cos ⁡ β + b cos ⁡ α . {\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha \,.}

(Công thức trên vẫn đúng nếu α hoặc β là góc tù, khi đó đường cao nằm ngoài tam giác và cos α hoặc cos β mang dấu âm). Nhân hai vế với c ta được

c 2 = a c cos ⁡ β + b c cos ⁡ α . {\displaystyle c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha .\,}

Tương tự ta có

a 2 = a c cos ⁡ β + a b cos ⁡ γ , {\displaystyle a^{2}=ac\cos \beta +ab\cos \gamma ,\,} b 2 = b c cos ⁡ α + a b cos ⁡ γ . {\displaystyle b^{2}=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma .\,}

Cộng vế theo vế hai phương trình sau ta có

a 2 + b 2 = a c cos ⁡ β + b c cos ⁡ α + 2 a b cos ⁡ γ . {\displaystyle a^{2}+b^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma .\,}

Trừ vế theo vế phương trình đầu ta có

a 2 + b 2 − c 2 = − a c cos ⁡ β − b c cos ⁡ α + a c cos ⁡ β + b c cos ⁡ α + 2 a b cos ⁡ γ {\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=-ac\cos \beta -bc\cos \alpha +ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma \,}

đơn giản còn

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ γ . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\,}

Sử dụng định lý Pytago

Hình 5 – Tam giác tù ABC với đường cao BH

Trường hợp tam giác tù. Euclid chứng minh đinh lý bằng cách áp dụng Định lý Pytago cho hai tam giác vuông trong Hình 5. Đặt CH = d và BH = h, trong tam giác AHB ta có

c 2 = ( b + d ) 2 + h 2 , {\displaystyle c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2},\,}

và trong tam giác CHB ta có

d 2 + h 2 = a 2 . {\displaystyle d^{2}+h^{2}=a^{2}.\,}

Khai triển đa thức phương trình đầu tiên:

c 2 = b 2 + 2 b d + d 2 + h 2 . {\displaystyle c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}.\,}

thế phương trình thứ hai vào:

c 2 = a 2 + b 2 + 2 b d . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+2bd.\,}

Đây là mệnh đề 12 của Euclid trong tập 2 của bộ Cơ sở.[1] Chú ý rằng

d = a cos ⁡ ( π − γ ) = − a cos ⁡ γ . {\displaystyle d=a\cos(\pi -\gamma )=-a\cos \gamma .\,}

Trường hợp tam giác nhọn. Được chứng minh trong mệnh đề 13 của Euclid ngay sau mệnh đề 12: ông áp dụng Định lý Pytago cho hai tam giác vuông có được bằng cách kẻ đường cao tương ứng với một trong hai cạnh kề góc γ và đơn giản bằng nhị thức.

Hình 6 – Chứng minh bằng lượng giác trong trường hợp tam giác nhọn

Cách khác trong trường hợp tam giác nhọn. Dựa vào Hình 6 ta có:

c 2 = ( b − a cos ⁡ γ ) 2 + ( a sin ⁡ γ ) 2 = b 2 − 2 a b cos ⁡ γ + a 2 cos 2 ⁡ γ + a 2 sin 2 ⁡ γ = b 2 + a 2 − 2 a b cos ⁡ γ , {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&{}=(b-a\cos \gamma )^{2}+(a\sin \gamma )^{2}\\&{}=b^{2}-2ab\cos \gamma +a^{2}\cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \\&{}=b^{2}+a^{2}-2ab\cos \gamma ,\end{aligned}}}

với lưu ý rằng

cos 2 ⁡ γ + sin 2 ⁡ γ = 1. {\displaystyle \cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =1.\,}

Cũng từ Hình 6 ta có:

tan ⁡ α = a sin ⁡ γ b − a cos ⁡ γ {\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a\sin \gamma }{b-a\cos \gamma }}}

Công thức này được dùng để tính một góc khi biết hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó.

Sử dụng định lý Ptolemy

Chứng minh định lý cos bằng định lý Ptolemy

Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Dựng tam giác ABD bằng tam giác ABC với AD = BC và BD = AC. Hạ đường cao từ D và C, cắt AB lần lượt tại E và F. Ta có:

B F = A E = B C cos ⁡ B ^ = a cos ⁡ B ^ ⇒   D C = E F = A B − 2 B F = c − 2 a cos ⁡ B ^ . {\displaystyle {\begin{aligned}&BF=AE=BC\cos {\hat {B}}=a\cos {\hat {B}}\\\Rightarrow \ &DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos {\hat {B}}.\end{aligned}}}

Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp ABCD:

A D × B C + A B × D C = A C × B D ⇒   a 2 + c ( c − 2 a cos ⁡ B ^ ) = b 2 ⇒   a 2 + c 2 − 2 a c cos ⁡ B ^ = b 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}&AD\times BC+AB\times DC=AC\times BD\\\Rightarrow \ &a^{2}+c(c-2a\cos {\hat {B}})=b^{2}\\\Rightarrow \ &a^{2}+c^{2}-2ac\cos {\hat {B}}=b^{2}.\end{aligned}}}